差分约束

差分约束系统 是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组，它包含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 以及 $m$ 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 $x_i-x_j\leq c_k$，其中 $1 \leq i, j \leq n, i \neq j, 1 \leq k \leq m$ 并且 $c_k$ 是常数（可以是非负数，也可以是负数）

我们要解决的问题是：求一组解 $x_1=a_1,x_2=a_2,\dots,x_n=a_n$，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解

很多题目会给出（或隐性地给出）一系列的不等关系，我们可以尝试把它们转化为差分约束系统来解决。

我们设 $x_1-x_2 \leq c$ ，移项得 $x_1 \leq x_2+c$

观察这个不等式与最短路问题中的三角形不等式 $dist[u] \leq dist[v]+w_{u,v}$ 的相似之处，利用这一点，我们可以把它转化为一个图论问题。也就是说，对于每一个 $x_i-x_j \leq c$ 我们从 $x_j$ 到 $x_i$ 建一有向条边，边权为 $c$

这样建出的有向图，它的每个顶点都对应差分约束系统中的一个未知量，源点到每个顶点的最短路对应这些未知量的值，而每条边对应一个约束条件

那么问题来了，既然是最短路，源点在哪里呢？

实际上取哪个点为源点是无关紧要的，但是，有时候我们得到的图不是连通的，这样求出来的结果很容易出现INF。为了避免这种情形，我们习惯人为地增加一个超级源点

例如我们现在人为地新增一个 $0$ 号点（或 $n+1$ 号点），从它向所有顶点连一条边权为 $0$ 的边

现在我们以 $0$ 号点为源点求各点的最短路即可。注意，这相当于了添加了以下约束条件：

$\begin{cases} x_1-x_0 \leq 0\\ x_2-x_0\leq 0\\ x_3-x_0 \leq 0 \end{cases}$

由于 $x_0$ 对应的是 $dist[0]$ ，而 $dist[0]=0$ 可知所有未知量均小于等于 $0$

因为这样求出来的只是一组解，显然，如果 $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 是一组解，那么对于任意常数 $d$，$\{x_1+d,x_2+d,\cdots,x_n+d\}$ 也是一组解

那么如果题目要求 $x_1,x_2,\cdots,x_n \leq w$ 呢，那么可以把 $dist[0]$ 设为 $w$ 或者把从 $0$ 号结点连向各点的边权设为 $w$，事实上，可以证明他们是满足 $x_1,x_2,\cdots,x_n \leq w$ 的最大解（每个变量能取到的最大值）

那么如何求满足 $x_1,x_2,\cdots,x_n \geq w$ 的最小解呢？只需要求最长路就行了。最长路满足三角形不等式 $dist[u] \ge dist[v]+w_{u,v}$，所以差分约束系统需要把小于等于换成大于等于。对于 SPFA 算法来说，需要初始化为 $-INF$ 而不是 $INF$，然后把比较符号颠倒一下即可

例题

洛谷 P5960 【模板】差分约束 (opens new window)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector<vector<pii>> g(n + 1);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, c; cin >> x >> y >> c;
        g[y].push_back({x, c});
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) g[0].push_back({i, 0});

    vector<int> dis(n + 1, INF), vis(n + 1, 0), cnt(n + 1, 0);
    
    auto spfa = [&]() -> bool {
        queue<int> q;
        q.push(0); vis[0] = 1; dis[0] = 0; cnt[0] = 1;
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;
            for (auto [v, w] : g[u]) {
                if (dis[v] > dis[u] + w) {
                    dis[v] = dis[u] + w;
                    if (!vis[v]) {
                        q.push(v); vis[v] = 1;
                        if (++cnt[v] > n) return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    };

    if (spfa()) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            cout << dis[i] << ' ';
    }
    else 
        printf ("NO\n");
    return 0;
}