Codeforces Round 969 (Div. 2)

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A - Dora's Set

Question

集合 $s$ 包含 $[l,r]$ 内的所有整数，每次能选择三个整数 $a,b,c$ 满足：$\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(a,c)=1$，就能从集合中删去 $a,b,c$，问最多能进行几次删除操作

Solution

考虑 $a,b,c$，如果 $a$ 是一个奇数，并且 $b=a+1,c=b+1$，则能一次删除

所以只需要模拟删除过程就好了

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    freopen ("A.in", "r", stdin);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int l, r; cin >> l >> r;
        if (l % 2 == 0) l += 1;
        if (r % 2 == 1) r += 1;
        int len = r - l + 1;
        cout << len / 4 << '\n';
    }
    return 0;
}

B - Index and Maximum Value

Question

在她的生日派对上收到了另一个整数数组 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 后，Index 决定对它进行一些操作。

具体来说，她将按顺序执行 $m$ 个操作，每个操作属于以下两种类型之一：

• $\texttt{+ l r}$。 给定两个整数 $l$ 和 $r$，对于所有 $1 \leq i \leq n$，满足 $l \leq a_i \leq r$，将 $a_i := a_i + 1$。
• $\texttt{- l r}$。 给定两个整数 $l$ 和 $r$，对于所有 $1 \leq i \leq n$，满足 $l \leq a_i \leq r$，将 $a_i := a_i - 1$。

Index 对数组 $a$ 中的最大值感到好奇。请帮助她在执行每个操作后找到最大值。

Solution

如果此次的最大值为 $x$，如果 $x$ 没有操作，那么最大值必然不会大于 $x$，如果 $x$ 操作了，那么最大值必然是 $x$，所以，其实只需要维护原数列中的最大值来做所有操作就好了

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    freopen ("B.in", "r", stdin);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int n, m; cin >> n >> m;
        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
        int m_ = *max_element(a.begin(), a.end());
        while (m--) {
            char op; cin >> op;
            int l, r; cin >> l >> r;
            if (op == '+' && l <= m_ && m_ <= r) m_ += 1;
            else if (op == '-' && l <= m_ && m_ <= r) m_ -= 1;
            cout << m_ << ' ';
        }
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}

C - Dora and C++

Question

给定一个序列，可以给单点 $+A$ 或 $+B$，求多次操作后的极差

Solution

根据裴蜀定理，$+A+B$，可以转化成 $+\gcd(A,B)$，所以考虑对于每个数在 $\bmod \gcd(A,B)$ 的定义下考虑这个问题

对序列排序去重后的序列为 $c$，枚举最小值 $c_i$，那么最大值就是 $c_{i-1}$，极差就是 $(c_{i-1}-c_i)\bmod \gcd(A,B)$

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main() {
    freopen ("C.in", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int n, a, b; cin >> n >> a >> b;
        int g = __gcd(a, b);
        vector<int> c(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] = c[i] % g;
        auto c_ = c;
        sort(c_.begin() + 1, c_.end());
        c_.erase(unique(c_.begin() + 1, c_.end()), c_.end());
        int m = c_.size() - 1;
        int ans = INF;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int pre = (i == 1) ? m : i - 1;
            int now = (c_[pre] - c_[i] + g) % g;
            ans = min(ans, now);
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}

D - Iris and Game on Tree

Question

Iris 有一棵以 $1$ 为根的树。每个顶点都有一个值为 $\mathtt 0$ 或 $\mathtt 1$。

我们考虑树的一个叶子节点（顶点 $1$ 永远不会被考虑为叶子节点），并定义它的权值。构造一个字符串，由从根开始到这个叶子节点的路径上的顶点的值组成。那么该叶子节点的权值是它中包含 $\mathtt{10}$ 和 $\mathtt{01}$ 子串数量之差。

以下面这棵树为例。绿色的顶点值为 $\mathtt 1$，白色的顶点值为 $\mathtt 0$。

• 计算叶子节点 $5$ 的权值：构造出的字符串为 $\mathtt{10110}$。其中，$\mathtt{10}$ 的出现次数为 $2$，$\mathtt{01}$ 的出现次数为 $1$，所以它们的数量之差为 $2-1=1$。
• 计算叶子节点 $6$ 的权值：构造出的字符串为 $\mathtt{101}$。其中，$\mathtt{10}$ 的出现次数为 $1$，$\mathtt{01}$ 的出现次数为 $1$，所以它们的数量之差为 $1-1=0$。

树的得分定义为树中权值不为零的叶子节点数。

但是，一些顶点的值尚未确定，将以 $\texttt{?}$ 给出。填充这些空白区域很无聊，所以 Iris 打算邀请 Dora 玩一个游戏。每一轮，两个女孩中的一个可以选择任何剩余值为 $\texttt{?}$ 的顶点，并将其值更改为 $\mathtt{0}$ 或 $\mathtt{1}$，Iris 先手。游戏将一直进行，直到树中没有值为 $\mathtt{?}$ 的顶点为止。Iris 的目标是最大化树的得分，而 Dora 的目标是最小化它。

假设两个女孩都采取最优策略，请确定树的最终得分。

• $2\le n\le 10^5$

Solution

先考虑什么字符串能让树的得分增加，手玩几组就会发现 01 子串和 10 子串数量不同，等价于第一个和第二个字母是否相同，对应到图中就是根节点的权值和叶子节点的权值

如果根节点的权值已经确定了，那么他们肯定优先去修改叶子节点

如果根节点的权值是 ?，那么就要分类讨论了

• 如果叶子节点 $0$ 的个数多，那么根节点选 $1$
• 如果叶子节点 $1$ 的个数多，那么根节点选 $0$
• 如果叶子节点 $01$ 数量一样多，那么先手去修改根节点的人比吃亏，所以去取非根非叶子节点，非根非叶子节点取完后再取根节点，所以谁先手去修改根节点取决于非根非叶子节点的奇偶性

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    freopen ("D.in", "r", stdin);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int n; cin >> n;
        vector<int> du(n + 1, 0);
        vector<vector<int>> g(n + 1);
        int ans = 0;
        int cnt_leaf = 0, cnt_other = 0;
        int leaf_0 = 0, leaf_1 = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int u, v; cin >> u >> v;
            du[u] += 1, du[v] += 1;
            g[u].push_back(v); g[v].push_back(u);
        }
        string s; cin >> s; s = " " + s;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i == 1) continue;
            if (du[i] == 1) {
                if (s[i] == '?') cnt_leaf += 1;
                if (s[i] == '0') leaf_0 += 1;
                if (s[i] == '1') leaf_1 += 1;
            } 
            else {
                if (s[i] == '?') cnt_other += 1;
            }
        }

        int cnt = cnt_leaf + cnt_other + (s[1] == '?');

        if (s[1] == '?') {
            if (leaf_0 > leaf_1) {
                ans += leaf_0;
                ans += cnt_leaf / 2;
            }
            else if (leaf_0 < leaf_1) {
                ans += leaf_1;
                ans += cnt_leaf / 2;
            }
            else {
                if (cnt_other % 2 == 0) {
                    ans += cnt_leaf / 2;
                    ans += leaf_0;
                }
                else {
                    ans += (cnt_leaf + 1) / 2;
                    ans += leaf_0;
                }
            }
        }
        else {
            if (s[1] == '0') 
                ans += leaf_1;
            else 
                ans += leaf_0;
            ans += (cnt_leaf + 1) / 2;
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}