逻辑学

传统词项逻辑

• 词项：充当直言命题主项和谓项的概念

e.g. 所有的哺乳动物都是脊椎动物。中：哺乳动物，脊椎动物，都是词项

• 词项的内涵：是指词项指称的对象所具有的特有属性或本质属性

• 词项的外延：是指该词项指称的一个或者一类对象，也就是词项指称的对象的范围

e.g. “人” 这个词项的内涵是“能够制造工具和使用工具的高级动物”，而 “人” 这个词项的外延是指古今 中外、不同种族、不同肤色、不同语言和不同生活习惯的所有的人。

词项外延之间的关系

1. 全同关系（同一关系）

如果两个词项 S 和 P 的外延完全相同而内涵却不同，那么这两个词项之间的关系就是同一关系

2.真包含于关系

如果一个词项 S 的全部外延是另一个词项 P 的外延的一部分，那么词项 S 真包含于词项 P。

e.g. S = 小麦，P = 农作物

3. 真包含关系

真包含关系是真包含于关系的逆关系。

4. 交叉关系

两个词项 S 和 P 有且只有部分外延重合

e.g. S =文学家 P = 思想家

5. 全异关系

两个词项的外延没有任何相同的对象，又分为矛盾关系，反对关系。

直言命题

直 言 命 题 = 量 项 + 主 项 + 联 项 + 谓 项

• 主项：是代表被谈论的事物的词项。
• 谓项：是用于表述主项所代表的事物的性质的词项。
• 量项：是规定主项所代表事物的量的词项，
  • 全称量项：所有，每一个
  • 特称量项：有的
• 联项是联结主项和谓项的词项。只有两个联项：“是” 和 “不是”。前者称为肯定联项，后者称为否定联项。

直言命题的分类

直言命题主项和谓项的周延性

• 周延性：衡量四种直言命题的主项和谓项的外延中的个体是否被全部断定

周延性可以理解为：词项是否有”所有的“的意味

• 全称直言命题主项周延
• 特称直言命题主项不周延
• 肯定直言命题谓项不周延
• 否定直言命题谓项周延

对当方阵

• 矛盾关系：不能同真，不能同假

SAP 和 SOP： “所有人都是动物” 是真的，因此 “有的人不是动物” 是假的

SIP 和 SEP： “所有鸟都不是胎生的” 是真的，因此 “有的鸟是胎生的” 是假的

• 等差关系：真假相同

• 反对关系：不能同真，可以同假

• 下反对关系：不能同假，可以同真

三段论

三段论：是指由两个包含有一个共同词项的直言命题作为前提从而推岀一个新的直言命题的推理

例如：

所有类人猿都是脊索动物。

所有翼龙都不是脊索动物。

所以，所有翼龙都不是类人猿。

任何一个三段论都是由三个直言命题组成的，两个是前提，一个是结论

• P：大项
• S：小项
• M：中项

三段论推理的一般规则

• 在前提中不周延的词项，在结论中也不得周延

结论中有大项和小项，违反这一条规则，就会犯 “大项不当周延” 或者 “小项不当周延” 的错误。例如：

唐诗是中国古典文学。

宋词不是唐诗。

所以，宋词不是中国古典文学。

“中国古典文学” 在大前提中是肯定直言命题的谓项，不周延

而在结论中，变成了否定直言命题的谓项，周延

违反了“在前提中不周延的词项在结论中也不得周延” 的规则，犯了“大项不当周延” 的错误。

• 中项在前提中必须至少周延一次

• 两个前提不能都是否定直言命题

• 前提与结论中否定命题的数目必须相等

用文恩图解法检验三段论的有效性

• SAP

所有的 S 都是 P，说明不存在一个 S 不是 P

$S\cap \overline{P}=\varnothing$

• SEP

所有的 S 都不是 P，所以不存在同时是 S 和 P 的部分

$S\cap P=\varnothing$

• SIP

有的 S 是 P，说明即是 S 又是 P 的部分是存在的

$S\cap P\ne \varnothing$

• SOP

有的 S 不是 P，说明是 S 且不是 P 的部分是存在的

$S\cap \overline{P}\ne \varnothing$

给出一个例子：

由图中可以看出：S 和 P 的交集部分都是阴影，所以可以得出三段论有效

命题逻辑

• 简单命题：命题的组成部分都是词项
• 复合命题

复合命题是从简单命题出发运用命题联结词构造起来的，这里我使用这五个联结词

• 推理：从前提得到结论的思维类型

复合命题常见形式

等值式具有对称性，自反性，传递性

推理本质上就是找等值式的过程

有个地方很绕：P $\leftarrow$ Q，只有 P 才 Q，除非 P，否则不 Q

复合命题的推理

真值表法

如果一个表达式有 $n$ 个变元，那么就有 $2^n$ 种组合方式，我们暴力列出每种组合，然后计算答案

那么如何验证一个推理是否是正确的呢？

对于自然语言中的推理，我们可以首先将他的推理形式写出来，然后利用重言式判断他是否有效

归谬赋值法

假设所考虑的命题是假的。

从假设出发，如果不可避免地得出矛盾，那么假设不成立，原命题不可能是假的，即原命题是重言式。

如果无法得出矛盾，那么原命题就不是重言式。

传统归纳推理

归纳推理

演绎推理：一般 $\rightarrow$ 特殊

归纳推理：特殊 $\rightarrow$ 一般

• 完全归纳推理：枚举归纳推理的前提如果考察完某类事物中所有对象

类比推理

类比推理就是从 一般 $\rightarrow$ 一般

穆勒五法

求同法，求异法，求同求异并用法，共变法，剩余法